Задание по геометрии
Геометрия - это раздел математики, который изучает фигуры и пространство. В школе ученикам часто дают задания по геометрии, чтобы проверить их знания и умения.
Вот пример задания по геометрии:
Задание
Даны две точки на координатной плоскости: A(2, 3) и B(5, 7). Найдите:
- Расстояние между точками А и В.
- Координаты середины отрезка АВ.
- Уравнение прямой, проходящей через точки А и В.
- Угол наклона прямой, проходящей через точки А и В.
Решение
-
Расстояние между точками А и В можно найти, применив теорему Пифагора:
$$ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} $$
Подставляя координаты точек А и В, получим:
$$ AB = \sqrt{(5-2)^2 + (7-3)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $$
Таким образом, расстояние между точками А и В равно 5.
-
Координаты середины отрезка АВ можно найти, используя формулу для координат точки, лежащей на середине отрезка, которая выглядит следующим образом:
$$ \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right) $$
Подставляя координаты точек А и В, получим:
$$ \left(\frac{2 + 5}{2}, \frac{3 + 7}{2}\right) = (3.5, 5) $$
Таким образом, координаты середины отрезка АВ равны (3.5, 5).
-
Уравнение прямой, проходящей через точки А и В, можно найти, используя уравнение прямой в общем виде:
$$ y = kx + b $$
где k - угловой коэффициент, а b - свободный член.
Угловой коэффициент k можно найти, используя формулу:
$$ k = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} $$
Подставляя координаты точек А и В, получим:
$$ k = \frac{7 - 3}{5 - 2} = \frac{4}{3} $$
Для нахождения свободного члена b подставим точку А в уравнение прямой и решим его относительно b:
$$ y_A = kx_A + b $$
$$ b = y_A - kx_A $$
Подставляя значение углового коэффициента и координаты точки А, получим:
$$ b = 3 - \frac{4}{3} \cdot 2 = \frac{1}{3} $$
Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точки А и В, равно:
$$ y = \frac{4}{3}x + \frac{1}{3} $$
-
Угол наклона прямой, проходящей через точки А и В, можно найти, используя теорему тангенсов:
$$ \tan{\alpha} = \frac{k_1 - k_2}{1 + k_1k_2} $$
где k1 и k2 - угловые коэффициенты прямых.
Угловой коэффициент прямой, проходящей через точки А и В, мы уже нашли в пункте 3 и он равен 4/3. Для нахождения углового коэффициента прямой, параллельной АВ, нужно знать, что две прямые параллельны, если их угловые коэффициенты совпадают. Таким образом, угловой коэффициент параллельной прямой также равен 4/3.
Подставляя значения угловых коэффициентов, получим:
$$ \tan{\alpha} = \frac{\frac{4}{3} - \frac{4}{3}}{1 + \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{3}} = 0 $$
Таким образом, угол наклона прямой, проходящей через точки А и В, и прямой, параллельной АВ, равен 0 градусов или 180 градусов, что означает, что они параллельны.