Вычисление функции по рядам

Функция задана в виде дроби, содержащей полином в знаменателе. Для вычисления этой функции по рядам, необходимо представить её в виде бесконечного ряда.

Нахождение разложения в ряд

Для начала, нужно разложить знаменатель полинома на множители: .

Теперь, используя метод частных дробей, можно разложить функцию в виде суммы двух простейших дробей: .

Найдем значения констант А и В, умножив обе части уравнения на знаменатели простых дробей и приравняв коэффициенты при степенях переменной x.

Нахождение коэффициентов

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель : .

Далее, найдем значения коэффициентов А и В, решая это уравнение.

Подставим , чтобы найти А: .

Получаем: , откуда следует A=1.

Подставим , чтобы найти В: .

Получаем: , откуда следует B=-1.

Таким образом, функцию можно разложить в виде:

Разложение в ряд

Теперь можно приступить к вычислению функции по ряду. Для этого разложим каждую простую дробь из выражения в ряд Тейлора.

Для первой простой дроби, , можно использовать следующее разложение в ряд:

Для второй простой дроби, , использовать следующее разложение в ряд:

Вычисление значения функции

Таким образом, из вышеприведенных разложений получаем:

Обратите внимание, что радиус сходимости каждого из рядов будет зависеть от соответствующих выражений и .

Заключение

Таким образом, функцию можно представить в виде суммы рядов. Однако, для более точных вычислений, может потребоваться использование конечного количества членов ряда. Точность вычислений будет зависеть от числа использованных членов и значения переменной x.